16428. Стороны треугольника равны a
, b
и c
. Найдите степень центра вписанной окружности треугольника относительно его описанной окружности.
Ответ. -\frac{abc}{a+b+c}
.
Решение. Пусть I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей данного треугольника, d
—расстояние между ними, r
и R
соответственно — радиусы окружностей, S
— площадь треугольника.
По формуле Эйлера (см. задачу 126)
d^{2}=R^{2}-2Rr.
Тогда степень точки I
относительно окружности с центром O
и радиусом R
равна
d^{2}-R^{2}=(R^{2}-2Rr)-R^{2}=-2Rr=-2\cdot\frac{abc}{4S}\cdot\frac{2S}{a+b+c}=-\frac{abc}{a+b+c}
(см. задачи 4259 и 452).
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1944, том 18, № 7, задача 523, с. 287