16447. а) Постройте прямоугольный треугольник ABC
по данным гипотенузе AC
и неравным отрезкам x
и y
, на которые гипотенуза разбивается точкой касания вписанной окружности с гипотенузой, а также его вписанную окружность.
б) На отрезке x
как на основании постройте треугольник, равновеликий треугольнику ABC
.
Решение. а) Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается катетов AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Обозначим BM=BN=u
. Тогда по теореме Пифагора
AB^{2}+BC^{2}=AC^{2},~\mbox{или}~(x+u)^{2}+(y+u)^{2}=x+y^{2}.
После очевидных упрощений получаем квадратное уравнение
u^{2}+u(x+y)-xy=0,
из которого получаем положительный корень
u=\frac{-(x+y)+\sqrt{x^{2}+6xy+y^{2}}}{2}.
Отсюда вытекает следующее построение.
Строим последовательно отрезки
6x,~z=\sqrt{6xy},~t=\sqrt{x^{2}+y^{2}},~v=\sqrt{x^{2}+y^{2}+6xy}=\sqrt{t^{2}+z^{2}},
u=\frac{-(x+y)+\sqrt{x^{2}+6xy+y^{2}}}{2}
(см. задачу 1966). Затем строим прямоугольный треугольник ABC
по его катетам AB=x+u
и BC=y+u
и проводим биссектрисы его углов при вершинах A
и C
. Их точка пересечения — центр I
вписанной окружности треугольника ABC
, а перпендикуляр, опущенный из неё на AC
— радиус окружности.
б) Пусть площадь искомого треугольника (как и площадь треугольника ABC
) равна S
. Тогда
S=\frac{1}{2}(x+u)(y+u)=\frac{1}{2}(xy+xu+yu+y^{2})=\frac{1}{2}x\left(y+u+\frac{uy}{x}+\frac{u^{2}}{x}\right).
Отсюда вытекает следующее построение.
Строим отрезки m=\frac{uy}{x}
и n=\frac{uy}{x}
(см. задачу 2608), затем — отрезок
h=y+u+\frac{uy}{x}+\frac{u^{2}}{x}.
Тогда площадь треугольника с основанием x
и h
равна S
.
Примечание. См. также задачу 1374.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1957, том 30, № 5, задача 290, с. 288