16453. Точка P
, лежащая внутри треугольника ABC
, удалена от его сторон на расстояния x
, y
и z
. Площадь треугольника и радиус его описанной окружности равны S
и R
соответственно. Докажите, что xyz\leqslant\frac{2}{27}\cdot\frac{S^{2}}{R}
.
Решение. Пусть x
, y
и z
— расстояния до сторон соответственно BC=a
, CA=b
и AB=c
треугольника ABC
. Тогда
ax+by+cz=2S~\Rightarrow~\frac{ax}{2S}+\frac{by}{2S}+\frac{cz}{2S}=1.
Среднее геометрическое трёх положительных чисел не больше их среднего арифметического (см. примечание к задаче 3399), поэтому
\sqrt[{3}]{{\frac{ax}{2S}\cdot\frac{by}{2S}\cdot\frac{cz}{2S}}}\leqslant\frac{\frac{ax}{2S}+\frac{by}{2S}+\frac{cz}{2S}}{3}=\frac{1}{3}~\Rightarrow~\frac{ax}{2S}\cdot\frac{by}{2S}\cdot\frac{cz}{2S}\leqslant\frac{1}{27},
а так как abc=4SR
(см. задачу 4259), то
\frac{4SR\cdot xyz}{8S^{3}}\leqslant\frac{1}{27}~\Rightarrow~xyz\leqslant\frac{2}{27}\cdot\frac{S^{2}}{R}.
Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда
\frac{ax}{2S}=\frac{by}{2S}=\frac{cz}{2S}=\frac{1}{3}~\Leftrightarrow~ax=by=cz~\Leftrightarrow~S_{\triangle BPC}=S_{\triangle CPA}=S_{\triangle APB},
т. е. тогда и только тогда, когда P
— точка пересечения медиан треугольника ABC
(см. примечание к задаче 3013).
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1964, том 37, № 4, задача 539, с. 279