16462. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}\geqslant4.
Решение. Пусть стороны треугольника, противолежащие углам \alpha
, \beta
и \gamma
, равны a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь, R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей.
Воспользуемся следующими фактами.
\sin\alpha=\frac{a}{2R},~S=pr,~abc=4RS,~R\geqslant2r
(см. задачи 23, 452 и 4259). Получим
\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}\geqslant4~\Leftrightarrow~\frac{\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}}{\frac{a}{2R}\cdot\frac{b}{2R}\cdot\frac{c}{2R}}\geqslant4~\Leftrightarrow~(a+b+c)R^{2}\geqslant abc~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2pR^{2}\geqslant4RS~\Leftrightarrow~2\cdot\frac{S}{r}\cdot R\geqslant4S~\Leftrightarrow~R\geqslant2r.
Последнее неравенство верно (см. задачу 3587). Отсюда следует доказываемое неравенство.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1970, том 43, № 1, задача 725, с. 48