16466. Докажите, что радиус окружности девяти точек любого треугольника равен отношению произведения радиусов вписанной и трёх вневписанных окружностей треугольника к произведению трёх его высот.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника, r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a
, b
и c
соответственно, h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на стороны a
, b
и c
соответственно, S
— площадь треугольника, R_{1}
— радиус окружности девяти точек.
Тогда R_{1}=\frac{R}{2}
(см. задачу 174), поэтому требуется доказать, что
\frac{R}{2}=\frac{rr_{a}r_{b}r_{c}}{h_{a}h_{b}h_{c}}.
Заметим, что
\frac{1}{h_{a}}=\frac{a}{2S},~\frac{1}{h_{b}}=\frac{b}{2S},~\frac{1}{h_{c}}=\frac{c}{2S},
S^{2}=rr_{a}r_{b}r_{c},~\frac{abc}{S}=4R
(см. задачи 6144б и 4250). Тогда
\frac{rr_{a}r_{b}r_{c}}{h_{a}h_{b}h_{c}}=S^{2}\cdot\frac{a}{2S}\cdot\frac{b}{2S}\cdot\frac{c}{2S}=S^{2}\cdot\frac{abc}{8S^{3}}=\frac{abc}{8S}=\frac{4RS}{8R}=\frac{R}{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1975, том 48, № 5, задача 920, с. 300