16516. В плоскости треугольника ABC
отмечена точка P
, для которой треугольник со сторонами, равными PA
, PB
и PC
, тупоугольный, причём его тупой угол лежит против стороны, равной PA
. Докажите, что угол BAC
острый.
Решение. По неравенству Коши—Буняковского (см. задачу 7946)
\sqrt{PB^{2}+PC^{2}}\cdot\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}\geqslant PB\cdot AC+PC\cdot AB.
По неравенству Птолемея (см. задачу 10938)
PB\cdot AC+PC\cdot AB\geqslant PA\cdot BC.
Поскольку PA
— наибольший из отрезков PA
, PB
и PC
, то в треугольнике со сторонами, равными PA
, PB
и PC
, сторона, равная PA
, лежит против тупого угла (см. задачу 3499). поэтому (см. задачу 4004)
PA\gt\sqrt{PB^{2}+PC^{2}}.
Значит,
\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}\geqslant\frac{PB\cdot AC+PC\cdot AB}{\sqrt{PB^{2}+PC^{2}}}\geqslant\frac{PA\cdot BC}{\sqrt{PB^{2}+PC^{2}}}\gt\frac{PA\cdot BC}{PA}=BC.
Следовательно, угол BAC
острый (см. задачу 4004). Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2002, том 75, № 2, задача 4, с. 154
Источник: Математические олимпиады США. — 2001