16527. Окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается его стороны BC=a
в точке D
. Луч ID
пересекает описанную окружность треугольника BIC
в точке E
. Докажите, что DE=\frac{S}{p-a}
, где S
и p
— соответственно площадь и полупериметр треугольника ABC
.
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
, r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
DI=r,~DB=p-b,~DC=p-c
(см. задачу 219).
Хорды BC
и AD
описанной окружности треугольника BIC
пересекаются в точке D
, поэтому (см. задачу 2627)
DE\cdot DI=DB\cdot DC~\Rightarrow~DE=\frac{DB\cdot DC}{DI}=\frac{(p-b)(p-c)}{r}=
=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{pr(p-a)}=\frac{S^{2}}{S\cdot(p-a)}=\frac{S}{p-a}
(см. задачи 2730 и 452). Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2006, том 79, № 3, задача 1723, с. 221