16551. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, а r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Докажите, что для любых положительных чисел m
и n
выполняются неравенства:
а) \frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb}\geqslant\frac{4p^{2}}{(m+n)(p^{2}+r^{2}+4Rr)}
;
б) \frac{1}{(ma+nb)^{2}}+\frac{1}{(mb+nc)^{2}}+\frac{1}{(mc+na)^{2}}\geqslant\frac{27}{(m+n)^{2}p^{2}}
.
Решение. Заметим, что
a+b+c=2p~\mbox{и}~ab+bc+ca=p^{2}+r^{2}+4Rr
(см. задачу 11293).
а) По неравенству Коши—Буняковского (см. задачу 7946) для троек \left(\frac{a}{\sqrt{x}};\frac{b}{\sqrt{y}};\frac{c}{\sqrt{z}}\right)
и (\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z})
получаем
\left(\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{2}+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^{2}+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^{2}\right)((\sqrt{x})^{2}+(\sqrt{y})^{2}+(\sqrt{z})^{2})\geqslant\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\cdot\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^{2},
или
\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geqslant\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}.
для любых положительных x
, y
и z
. В частности, если
x=\frac{a}{mb+nc},~y=\frac{b}{mc+na}~\mbox{и}~z=\frac{c}{ma+nb},
то
\frac{a^{2}}{a(mb+nc)}+\frac{b^{2}}{b(mc+na)}+\frac{c^{2}}{c(ma+nb)}\geqslant\frac{(a+b+c)^{2}}{(m+n)(ab+bc+ca)}=
=\frac{(2p)^{2}}{(m+n)(p^{2}+r^{2}+4Rr)}.
Следовательно,
\frac{a}{mb+nc}+\frac{b}{mc+na}+\frac{c}{ma+nb}\geqslant\frac{4p^{2}}{(m+n)(p^{2}+r^{2}+4Rr)}.
б) Среднее арифметическое трёх положительных чисел не меньше их среднего геометрического (см. примечание к задаче 3399), поэтому для любых положительных x
, y
и z
получаем
(x+y+z)^{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geqslant(3\sqrt[{3}]{{xyz}})^{2}\cdot\frac{3}{(3\sqrt[{3}]{{xyz}})^{2}}=27.
В частности, если
x=\frac{a}{mb+nc},~y=\frac{b}{mc+na}~\mbox{и}~z=\frac{c}{ma+nb},
то, учитывая, что
x+y+z=(m+n)(a+b+c)=2(m+n)(a+b+c),
получим
(2(m+n)(a+b+c))^{2}\left(\frac{1}{(ma+nb)^{2}}+\frac{1}{(mb+nc)^{2}}+\frac{1}{(mc+na)^{2}}\right)\geqslant27.
Следовательно,
\frac{1}{(ma+nb)^{2}}+\frac{1}{(mb+nc)^{2}}+\frac{1}{(mc+na)^{2}}\geqslant\frac{27}{(m+n)^{2}p^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2013, том 86, № 5, задача 1908, с. 384