16556. Точка D
лежит на стороне BC
треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
, причём AD=a
. Докажите, что
\frac{5a^{2}}{bc}+\frac{b^{3}}{a^{2}c}+\frac{c^{3}}{a^{2}b}\geqslant\frac{13}{2}.
Решение. Поскольку a
, b
и c
— положительные числа, доказываемое неравенство равносильно неравенству
5a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc\geqslant0.
Поскольку b^{4}+c^{4}\geqslant2b^{2}c^{2}
(см. задачу 3399), то
5a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc\geqslant5a^{4}+2b^{2}c^{2}-\frac{13}{2}a^{2}bc=\frac{1}{2}(10a^{4}+4b^{2}c^{2}-13a^{2}bc)=
=\frac{1}{2}(10a^{4}+4b^{2}c^{2}-5a^{2}bc)-8a^{2}bc)=\frac{1}{2}(5a^{4}(2a^{2}-bc)-4bc(2a^{2}-bc))=
=\frac{1}{2}(2a^{2}-bc)(5a^{2}-4bc).
Пусть \angle ADB=\theta
, \angle ABC=\beta
, S
— площадь треугольника ABC
, R
— радиус его описанной окружности.
По теореме синусов из треугольников ABD
и ABC
, учитывая, что S=\frac{abc}{4R}
(см. задачу 4259), получаем
\frac{c}{\sin\theta}=\frac{a}{\sin\beta}~\Rightarrow~\sin\theta=\frac{c\sin\beta}{a}=\frac{c}{a}\cdot\sin\beta=\frac{c}{a}\cdot\frac{b}{2R}=\frac{bc}{2aR}=
=\frac{4SR}{a}\cdot\frac{1}{2aR}=\frac{4S}{2a^{2}}~\Rightarrow~4S=2a^{2}\sin\theta~\Rightarrow~16S^{2}=4a^{4}\sin^{2}\theta.
В то же время,
16S^{2}=16p(p-a)(p-b)(p-c),
где p
— полупериметр треугольника ABC
(см. задачу 2730).
Далее воспользуемся соотношением из задачи 16549:
16S^{2}=16p(p-a)(p-b)(p-c)=2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}.
Получим
5a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc=4a^{4}+a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc\geqslant
\geqslant4a^{4}\sin^{2}\theta+a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc=16S^{2}+a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc=
=2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}+a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc=
=\frac{1}{2}(4a^{2}b^{2}+4b^{2}c^{2}+4c^{2}a^{2}-13a^{2}bc)=\frac{1}{2}(4b^{2}c^{2}+4a^{2}(b^{2}+c^{2})-13a^{2}bc)\geqslant
\geqslant\frac{1}{2}(4b^{2}c^{2}+8a^{2}bc-13a^{2}bc)=\frac{1}{2}bc(4bc-5a^{2}).
Таким образом, получены верные неравенства
5a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc\geqslant\frac{1}{2}(2a^{2}-bc)(5a^{2}-4bc)\eqno(1)
и
5a^{4}+b^{4}+c^{4}-\frac{13}{2}a^{2}bc\geqslant\frac{1}{2}bc(4bc-5a^{2}).\eqno(2)
Пусть 5a^{2}-4bc\geqslant
. Тогда
5a^{2}\geqslant4bc~\Rightarrow~a^{2}\geqslant\frac{4}{5}bc\gt\frac{1}{2}bc~\Rightarrow~2a^{2}-bc\gt0.
Следовательно, \frac{1}{2}(2a^{2}-bc)(5a^{2}-4bc)\geqslant0
, так как верно неравенство (1).
Пусть 5a^{2}-4bc\lt0
. Тогда \frac{1}{2}bc(4bc-5a^{2})\gt0
, так как верно неравенство (2).
Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2015, том 88, № 1, задача 1938, с. 75