16560. Остроугольный треугольник ABC
вписан в окружность \Omega
с центром O
. Точка H
— основание высоты, проведённой из вершины A
, а P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки H
на стороны AB
и AC
соответственно. Докажите, что если AH^{2}=2AO^{2}
, то точки O
, P
и Q
лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку HP
и HQ
— высоты прямоугольных треугольников соответственно AHB
и AHC
, проведённые из вершин прямых углов, то
AP\cdot AB=AH^{2}=AQ\cdot AC
(см. задачу 2728). Значит, четырёхугольник PQCB
вписанный (см. задачу 114). Тогда если K
— точка пересечения прямых AO
и PQ
, то
\angle AQK=\angle AQP=180^{\circ}-\angle CQP=\angle CBP=\angle HBA.
В то же время,
\angle QAK=\angle QAO=\angle BAH
(см. задачу 20). Таким образом, два угла треугольника QAK
соответственно равны двум острым углам прямоугольного треугольника BAH
. Следовательно,
\angle AKQ=\angle AHB=90^{\circ}.
Пусть AD
— диаметр окружности \Omega
. Точки A
, K
, O
и D
лежат на одной прямой, а
\angle QCD=\angle ACD=90^{\circ}=\angle QKD.
Значит, четырёхугольник KQCD
вписанный. Тогда (см. задачу 2636)
AK\cdot AD=AQ\cdot AC=AH^{2}~\Rightarrow~AK=\frac{AH^{2}}{AD}=\frac{AH^{2}}{2AO}=\frac{2AO^{2}}{2AO}=AO.
Следовательно, точка K
совпадает с O
. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2016, том 89, № 4, задача 5, с. 308
Источник: Математические олимпиады США. —