16565. Точки O
и H
— соответственно центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного треугольника ABC
; M
— середина стороны BC
, а AD
— биссектриса треугольника. Луч MO
пересекает описанную окружность треугольника BHC
в точке N
. Докажите, что \angle ADO=\angle HAN
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Докажем, что четырёхугольник ADNO
вписанный. Отсюда и из параллельности OM
и AH
будет следовать, что
\angle ADO=\angle ANO=\angle HAN.
При симметрии относительно прямой BC
ортоцентр H
треугольника ABC
переходит в точку, лежащую на описанной окружности \Omega
треугольника ABC
(см. задачу 4785), поэтому окружность \Omega
переходит в описанную окружность треугольника BHC
.
Пусть луч OM
пересекает окружность \Omega
в точке P
. Точки O
, N
, M
и P
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, поэтому точка P
— середина меньшей дуги BC
окружности \Omega
, а так как луч AD
— биссектриса угла BAC
, то этот луч проходит через точку P
(см. задачу 430). Кроме того, точка N
симметрична точке P
относительно прямой BC
, поэтому M
— середина NP
.
Пусть O'
— проекция точки O
на прямую AD
. Поскольку \angle DMO=90^{\circ}=\angle OO'P
, четырёхугольник OO'DM
вписанный. Тогда (см. задачу 2636) PM\cdot PO=PD\cdot PO'
, а так как O'
— середина отрезка AP
(см. задачу 1676), то
PN\cdot PO=2PM\cdot PO=2\cdot PD\cdot PO'=PA\cdot PD.
Следовательно, четырёхугольник ADNO
вписанный (см. задачу 114). Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2017, том 90, № 4, задача 5, с. 316
Источник: Математические олимпиады США. —