16567. Пусть S
— площадь треугольника со сторонами a
, b
и c
. Докажите, что
16S^{2}=a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Решение. Первый способ. Пусть R
— радиус описанной окружности данного треугольника, а углы, противолежащие сторонам, равным a
, b
и c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда (см. задачи 3966, 4259 и 4253)
S=\frac{1}{2}R(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)=\frac{1}{2}\cdot\frac{abc}{4S}\cdot(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)=
=\frac{1}{8S}\cdot abc\left(a\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+b\cdot\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}+c\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)=
=\frac{1}{16S}(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Следовательно,
16S^{2}=a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поскольку (см. задачу 16526а)
S^{2}=\frac{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{16}=
=\frac{1}{16}(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})),
то
16S^{2}=a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.20, с. 33