16643. В остроугольном треугольнике ABC
(AC\ne BC
) проведена медиана CM
, P
— проекция ортоцентра H
на биссектрису угла C
. Докажите, что прямая MP
делит отрезок CH
пополам.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что AC\gt AB
, или \angle B\gt\angle A
(см. рис.).
Пусть E
— середина CH
. Тогда PE
— медиана прямоугольного треугольника CPH
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
CE=EH=EP~\mbox{и}~\angle PEH=2\angle PCH=\angle B-\angle A
(см. задачу 1106).
Точки E
, M
, середина N
стороны BC
и основание D
высоты CD
лежат на окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), поэтому, учитывая, что \angle BDN=\angle DBN
(DN
— медиана прямоугольного треугольника BDC
, проведённая из вершины прямого угла), получим
\angle MEH=\angle MED=\angle MND=\angle BDN-\angle BMN=\angle B-\angle A=\angle PEH.
Следовательно, точка E
(середина отрезка CH
) лежит на прямой MP
. Отсюда вытекает решение задачи.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, первый день, 8 класс, задача 2