16643. В остроугольном треугольнике ABC
(AC\ne BC
) проведена медиана CM
, P
— проекция ортоцентра H
на биссектрису угла C
. Докажите, что прямая MP
делит отрезок CH
пополам.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
и B
через \alpha
и \beta
соответственно. Без ограничения общности можно считать, что \beta\gt\alpha
.
Пусть E
— середина CH
. Тогда PE
— медиана прямоугольного треугольника CPH
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1109) CE=EH=EP
, а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle PEH=2\angle PCE=2\cdot\frac{\beta-\alpha}{2}=\beta-\alpha.
(см. задачу 1106).
Пусть D
— основание высоты, проведённой из вершины C
, а N
— середина стороны BC
. Тогда DN
— медиана прямоугольного треугольника BDC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому \angle BDN=\angle DBN=\beta
, а так как MN
— средняя линия треугольника ABC
, то \angle DMN=\angle BAC=\alpha
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle MND=\angle BDN-\angle DMN=\beta-\alpha.
Точки E
, M
, D
и N
лежат на окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), поэтому
\angle MED=\angle MND=\beta-\alpha=\angle PEH.
Значит, точки M
, P
и E
лежат на одной прямой. Следовательно, прямая MP
делить отрезок CH
пополам. Что и требовалось доказать.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XXI, финал, первый день, 8 класс, задача 2