16665. Продолжение медианы
CM
треугольника
ABC
пересекает описанную около него окружность
\omega
в точке
N
. На лучах
CA
и
CB
отмечены точки
P
и
Q
, соответственно, причём
PM\parallel BN
и
QM\parallel AN
. На отрезках
PM
и
QM
отмечены точки
X
и
Y
соответственно, причём прямые
PY
и
QX
касаются окружности
\omega
. Отрезки
PY
и
QX
пересекаются в точке
Z
. Докажите, что четырёхугольник
MXZY
описанный.
Решение. Воспользуемся следующим утверждением (см. задачу 1349). В треугольнике
ABC
на сторонах
BC
и
AC
отмечены точки
K
и
L
соответственно. Отрезки
AK
и
BL
пересекаются в точке
D
. Тогда четырёхугольник
CKDL
описанный тогда и только тогда, когда
AC-BC=AD-BD.

Пусть
PY
и
QX
касаются окружности
\omega
в точках
Y_{1}
и
X_{1}
соответственно. Из вписанности четырёхугольника
ACBN
и параллельности
PM\parallel BN
следует, что
\angle ACN=\angle ABN=\angle AMP,

поэтому описанная окружность треугольника
AMC
касается прямой
PM
(см. задачу 144). Значит,
PM^{2}=PA\cdot PC
(см. задачу 93), а так как
PA\cdot PC=PY^{2}
, то
PM=PY_{1}
. Аналогично,
QM=QX_{1}
. Очевидно, что
ZX_{1}=ZY_{1}
. Осталось заметить, что из сформулированного в первом абзаце утверждения следует описанность четырёхугольника
MXZY
, так как
PM-QM=PY_{1}-QX_{1}=(PZ+ZY_{1})-(QZ-ZX_{1})=PZ-QZ~\Rightarrow

\Rightarrow~PM-QM=PZ-QZ.

Примечание. В приведённом решении не используется то, что
M
— середина
AB
.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2019, XV, первый день, задача 3