16693. Периметр треугольника ABC
равен 36. Точки E
и F
— середины сторон AB
и BC
соответственно. Отрезок EF
касается окружности, вписанной в треугольник ABC
.
а) Докажите, что AC=9
.
б) Найдите площадь треугольника ABC
, если \angle ACB=90^{\circ}
.
Ответ. 54.
Решение. Первый способ. а) Четырёхугольник AEFC
описан около окружности, поэтому
AE+FC=AC+EF.
Отрезок EF
— средняя линия треугольника ABC
. Значит,
AE=\frac{1}{2}AB,~FC=\frac{1}{2}BC,~EF=\frac{1}{2}AC.
Тогда
\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=AC+\frac{1}{2}AC,~\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{3}{2}AC.
Периметр треугольника ABC
равен 36, поэтому
\frac{1}{2}(36-AC)=\frac{3}{2}AC.
Следовательно, AC=9
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. а) Пусть p=18
— полупериметр треугольника ABC
. Треугольник EFB
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом 2, поэтому полупериметр p_{1}
треугольника EFB
равен 9.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB
в точке M
. Из условия задачи следует, что вписанная окружность треугольника ABC
— это вневписанная окружность треугольника EFB
, поэтому (см. задачу 1750) BM=p_{1}=9
.
С другой стороны BM=p-AC
(см. задачу 219). Следовательно,
AC=p-BM=18-9=9.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть радиус окружности с центром I
, вписанной в треугольник ABC
, равен r
, а N
и L
— точки касания со сторонами BC
и AC
соответственно. Тогда CNIL
— квадрат, поэтому CN=CL=r
. Значит,
BC=CN+BN=r+9,
AB=AM+BM=AL+BM=(AC-CL)+BM=(9-r)+9=18-r.
По теореме Пифагора
AB^{2}-BC^{2}=AC^{2}~\mbox{или}~(18-r)^{2}-(r+9)^{2}=81,
откуда находим, что r=3
. Следовательно (см. задачу 452),
S_{\triangle ABC}=pr=18\cdot3=54.
Источник: ЕГЭ. — 2024, профильный уровень, задача 17