16738. В треугольнике ABC
с острыми углами при вершинах A
и B
проведена высота CH
. Точки M
и N
— середины сторон AC
и BC
соответственно. Площадь треугольника AHM
равна 120, а радиус вписанной в него окружности равен \frac{15}{4}
. Площадь треугольника BHN
равна 48
, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Ответ. 7.
Решение. Поскольку углы при вершинах A
и B
острые, точка H
лежит внутри отрезка AB
(см. задачу 127).
Треугольники AHM
и BHN
равнобедренные с основаниями AH
и BH
(см. задачу 1109), соответственно, а их высоты, опущенные из вершин M
и N
, равны. Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам,
S_{\triangle ACH}=S_{\triangle AMH}=240,~S_{\triangle BCH}=S_{\triangle BNH}=96,
при этом точка H
лежит на отрезка AB
. Значит,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACH}+S_{\triangle BCH}=240+96=336.
Пусть r_{1}=\frac{15}{4}
, r_{2}=2
и r
— радиусы вписанных окружностей треугольников AMH
, BNH
и ABC
соответственно, а P_{1}
, P_{2}
и P
— их периметры. Тогда (см. задачу 452)
P_{1}=\frac{2S_{\triangle AMH}}{r_{1}}=\frac{2\cdot240}{\frac{15}{4}}=64,~P_{2}=\frac{2S_{\triangle BNH}}{r_{1}}=\frac{2\cdot480}{3}=32.
Поскольку MH=MC
и NH=NC
, периметр треугольника ABC
равен сумме периметров треугольников AMH
и BNH
, т. е.
P=P_{1}+P_{2}=64+32=96.
Следовательно,
r=\frac{2S_{\triangle ABC}}{P}=\frac{2\cdot336}{96}=7.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, второй этап, 10 класс, задача 8, вариант б