16834. В окружность с центром O
вписан четырёхугольник ABC
, диагонали AC
и BD
которого пересекаются в точке M
, причём AM=4
и AB=6
. Какой может быть наименьшая длина диагонали BD
, если известно, что стороны AB
и AD
равноудалены от точки O
?
Ответ. 4\sqrt{5}
.
Решение. Хорды окружности, равноудалённые от центра, равны (см. задачу 1673), поэтому AD=AB=6
. Тогда
\angle ACD=\angle ADB=\angle ABD.
Значит, треугольники ABM
и ACB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AB}~\Rightarrow~36=AB^{2}=AM\cdot AC=4AC~\Rightarrow~AC=9~~\Rightarrow~MC=9-4=5.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
BM\cdot DM=AM\cdot MC=5\cdot4=20.
Значит, по неравенству Коши (см. задачу 3399)
BD=BM+MD\geqslant2\sqrt{BM\cdot MD}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5},
причём равенство достигается при BM=MD=2\sqrt{5}
, т. е. когда M
— середина диагонали BD
. Следовательно, наименьшая длина диагонали BD
равна 4\sqrt{5}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2015-2016, март 2016, закл. тур, задача 3, вариант 4-1