16838. В треугольник ABC
, в котором сумма сторон AC
и BC
в \frac{9}{5}
раз больше стороны AB
, вписана окружность, касающаяся сторон BC
, AC
и AB
в точках M
, N
и K
соответственно. Отношение площади треугольника MNC
к площади треугольника ABC
равно r
. Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение r
;
б) все возможные значения r
.
Ответ. а) \frac{16}{81}
; б) \frac{16}{81}\leqslant r\lt\frac{2}{7}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
CM=CN=p-c,
поэтому (см. задачу 3007)
\frac{S_{\triangle MNC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CM}{CB}\cdot\frac{CN}{SA}=\frac{p-c}{a}\cdot\frac{p-c}{b}=\frac{(p-c)^{2}}{ab}=
=\frac{(a+b-c)^{2}}{4ab}=\frac{\left(a+b-\frac{5}{9}(a+b)\right)^{2}}{4ab}=\frac{\frac{16}{81}(a+b)}{4ab}=\frac{4(a+b)^{2}}{81ab}.
а) По неравенству Коши (см. задачу 3399) a+b\geqslant2\sqrt{ab}
. Значит,
r=\frac{S_{\triangle MNC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4(a+b)^{2}}{81ab}\geqslant\frac{4\cdot4ab}{81ab}=\frac{16}{81},
причём при a=b
достигается равенство. Следовательно, наименьшее значение r
равно \frac{16}{81}
.
б) Обозначим \frac{a}{b}=t
. Тогда
\frac{S_{\triangle MNC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{4(a+b)^{2}}{81ab}=\frac{4}{81}\left(\frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}\right)=\frac{4}{81}\left(t+\frac{1}{t}+2\right).
По неравенству треугольника
a+b\gt c,~a+c\gt b,~b+c\gt a.
Учитывая, что c=\frac{5}{9}(a+b)
, последние два из этих неравенств можно переписать в виде
a+\frac{5}{9}(a+b)\gt b,~\mbox{или}~\frac{a}{b}\gt\frac{2}{7},
b+\frac{5}{9}(a+b)\gt a,~\mbox{или}~\frac{a}{b}\lt\frac{7}{2}.
Таким образом
\frac{2}{7}\lt\frac{a}{b}\lt\frac{7}{2},~\mbox{или}~\frac{2}{7}\lt t\lt\frac{7}{2}.
Функция f(t)=t+\frac{1}{t}
на интервале (0;1)
убывает, а на луче (1;+\infty)
— возрастает (см. рис.). Поскольку f\left(\frac{2}{7}\right)=f\left(\frac{7}{2}\right)
, то f(t)\in\left[f(1);f\left(\frac{7}{2}\right)\right)
при t\in\left(\frac{2}{7};\frac{7}{2}\right)
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle MNC}}{S_{\triangle ABC}}\in\left[\frac{16}{81};\frac{2}{7}\right).
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2017-2018, март 2018, закл. тур, задача 4, вариант 1-1