16857. Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка, один из которых равен 16. Найдите длину второго отрезка, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 5.
Ответ. 9.
Решение. Первый способ. Пусть катет, прилежащий к данному отрезку, равен b
, катет, прилежащий ко второму отрезку, равен a
, второй отрезок равен x
, а радиус вписанной окружности равен r=5
. Тогда (см. задачи 2728 и 217)
a=\sqrt{x(x+16)},~b=4\sqrt{x+16},~5=r=\frac{a+b-c}{2}.
Таким образом, задача сводится к решению уравнения
\sqrt{x(x+16)}+4\sqrt{x+16}-(x+16)=10~\Leftrightarrow~\sqrt{x(x+16)}+4\sqrt{x+16}=x+26
\Leftrightarrow~x(x+16)+16(x+16)+8(x+16)\sqrt{x}=(x+26)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(x+16)^{2}+8(x+16)\sqrt{x}=(x+26)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~8(x+16)\sqrt{x}=(x+26)^{2}-(x+16)^{2}~\Leftrightarrow~8(x+16)\sqrt{x}=10x(2x+42)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2(x+16)\sqrt{x}=5(x+21)~\Leftrightarrow~4x(x+16)^{2}=25(x+21)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4x^{3}+103x^{2}-26x-11025=0~\Leftrightarrow~(x-9)(4x^{2}+139x+1225)=0
(угадывается корень x=9
, а других корней нет). Следовательно, x=9
.
Второй способ. Воспользуемся равенством
\frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}
(см. задачу 3239), где h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на стороны a
, b
и c
, а r
— радиус вписанной окружности треугольника. В нашем случае
h_{a}=4\sqrt{x+16},~h_{b}=\sqrt{x(x+16)},~h_{c}=2\sqrt{x}
(см. задачу 2728). Получаем уравнение
\frac{1}{5}=\frac{1}{4\sqrt{x+16}}+\frac{1}{\sqrt{x(x+16)}}+\frac{1}{4\sqrt{x}}.
Заметим, что уравнению удовлетворяет x=9
. Это решение единственное, так как левая часть убывает на луче (0;+\infty)
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2019-2020, май 2020, закл. тур, 10 класс, задача 2, вариант 4-1