16965. Найдите наименьшее значение выражения |x-y|+\sqrt{(x-3)^{2}+(y+1)^{2}}
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Указание. Используйте геометрическую интерпретацию каждого из слагаемых рассматриваемой суммы.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
. Заметим, что второе слагаемое рассматриваемой суммы есть расстояние между точками P(3;-1)
и M(x;y)
, а первое слагаемое — умноженное на \sqrt{2}
расстояние от точки M
до прямой x-y=0
(см. задачу 4249).
Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно оси Oy
, пересекает прямую x-y=0
в точке K
, а N
— проекция точки P
на прямую x-y=0
. Тогда по формуле расстояния от точки до прямой (см. задачу 4249)
PN=\frac{1+3}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
Следовательно, по неравенству треугольника
|x+y|+\sqrt{(x-3)^{2}+(y+1)^{2}}=MK+MP\geqslant PK\geqslant PN=2\sqrt{2},\eqno(1)
причём равенство достигается в случае, когда MK+MP=PK=PN
, т. е. когда точка M
совпадает с N
.
В этом случае угловой коэффициент прямой PN
равен -1, поэтому её уравнение имеет вид y+1=-1(x-3)
(см. задачи 4243 и 4205). Решив систему уравнений
\syst{y+1=-1(x-3)\\y=x,\\}
найдём x=y=1
. Значит, в точке M(1;1)
неравенство (1) обращается в равенство. Следовательно, наименьшее значение выражения |x-y|+\sqrt{(x-3)^{2}+(y+1)^{2}}
равно 2\sqrt{2}
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.7, с. 18