17025. Пусть медианы треугольника, проведённые к его сторонам a
, b
и c
, равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно. Докажите, что
\frac{9}{20}\lt\frac{m_{a}m_{b}+m_{b}m_{c}+m_{a}m_{c}}{ab+bc+ac}\lt\frac{5}{4}.
Решение. Обозначим x=ab+bc+ac
, x_{1}=m_{a}m_{b}+m_{b}m_{c}+m_{a}m_{c}
, y=a^{2}+b^{2}+c^{2}
, y_{1}=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}
.
1. Воспользуемся известными фактами
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),~\mbox{или}~3y=4y_{1},
(см. задачу 4047) и
a^{2}+b^{2}+c^{2}\lt2(ab+bc+ac)~\mbox{или}~y\lt2x
(см. задачу 3548б).
Поскольку
m_{a}+m_{b}+m_{c}\lt a+b+c,
(см. задачу 3515), то
(m_{a}+m_{b}+m_{c})^{2}\lt(a+b+c)^{2},
или
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}+2(m_{a}m_{b}+m_{b}m_{c}+m_{a}m_{c})\lt(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ac),
т. е.
2x_{1}+y_{1}\lt2x+y~\Rightarrow8x_{1}+4y_{1}\lt8x+4y.
Учитывая, что 3y=4y_{1}
и y\lt2x
, получим
8x_{1}\lt8x+4y-4y_{1}=8x+4y-3y=8x+y\lt10x~\Rightarrow~\frac{x_{1}}{x}\lt\frac{5}{4}.
Следовательно,
\frac{m_{a}m_{b}+m_{b}m_{c}+m_{a}m_{c}}{ab+bc+ac}\lt\frac{5}{4}.
2. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
. Достроим треугольник AMB
до параллелограмма AMBN
. Заметим, что медианы треугольника AMN
равны половинами сторон треугольника ABC
. Применив к треугольнику доказанное утверждение, получим, что
\frac{\frac{1}{4}x}{\frac{4}{9}x_{1}}\lt\frac{5}{4}~\Rightarrow~=\frac{x_{1}}{x}\gt\frac{9}{20}.
Следовательно,
\frac{m_{a}m_{b}+m_{b}m_{c}+m_{a}m_{c}}{ab+bc+ac}\gt\frac{9}{20}.
См. также заметку А.Резникова «Одно геометрическое неравенство», Квант, 1975, N12, с.56.
Источник: Журнал «Квант». — 1975, № 12, с. 56, лемма 4
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.7, с. 253