17041. Периметр четырёхугольника, описанного около окружности радиуса r
, равен P
, а диагонали четырёхугольника равны l_{1}
и l_{2}
. Докажите, что Pr\leqslant\frac{l_{1}^{2}+l_{2}^{2}}{2}
.
Решение. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (см. задачу 3018), т. е. S=\frac{1}{2}l_{1}l_{2}\sin\alpha
. В то же время S=\frac{1}{2}Pr
(см. задачу 523), а так как по неравенству Коши (см. задачу 3399)
l_{1}l_{2}\leqslant\frac{l_{1}^{2}+l_{2}^{2}}{2},
то
Pr=2S=l_{1}l_{2}\sin\alpha\leqslant l_{1}l_{2}\leqslant\frac{l_{1}^{2}+l_{2}^{2}}{2}.
Что и требовалось доказать.
Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны (\sin\alpha=1
), то Pr=l_{1}l_{2}
, а если, кроме того, l_{1}=l_{2}=l
(т. е. четырёхугольник — квадрат), то Pr=l^{2}=\frac{l_{1}^{2}+l_{2}^{2}}{2}
.
Примечание. См. статью С.Р.Сефибекова «Доказательство геометрических неравенств», Квант, 1979, N3, с.51-53.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 3, с. 52, задача 3