17090. Окружность, проходящая через вершину
C
треугольника
ABC
, касается стороны
AB
в точке
L
и пересекает стороны
AC
и
BC
в точках
P
и
Q
соответственно. Найдите
AC
и
BC
, если известно, что
AP=3
,
AL=6
,
LB=8
и прямая
PQ
параллельна
AB
.
Ответ.
AC=12
,
BC=16
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) и из параллельности
PQ
и
AB
следует, что
\angle LCB=\angle LCQ=\angle LPQ=\angle ALP=\angle LCP=\angle LCA,

Значит,
CL
— биссектриса треугольника
ABC
. Тогда (см. задачу 1509)
\frac{AC}{BC}=\frac{AL}{LB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.

Пусть
AC=3x
и
BC=4x
. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
AL^{2}=AP\cdot AC,~\mbox{или}~36=3\cdot3x=9x~\Rightarrow~x=4~\Rightarrow

\Rightarrow~AC=3x=12~\mbox{и}~BC=4x=16.

Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1991, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 3, вариант 2