17090. Окружность, проходящая через вершину C
треугольника ABC
, касается стороны AB
в точке L
и пересекает стороны AC
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Найдите AC
и BC
, если известно, что AP=3
, AL=6
, LB=8
и прямая PQ
параллельна AB
.
Ответ. AC=12
, BC=16
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) и из параллельности PQ
и AB
следует, что
\angle LCB=\angle LCQ=\angle LPQ=\angle ALP=\angle LCP=\angle LCA,
Значит, CL
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 1509)
\frac{AC}{BC}=\frac{AL}{LB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Пусть AC=3x
и BC=4x
. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
AL^{2}=AP\cdot AC,~\mbox{или}~36=3\cdot3x=9x~\Rightarrow~x=4~\Rightarrow
\Rightarrow~AC=3x=12~\mbox{и}~BC=4x=16.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1991, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 3, вариант 2