17123. Найдите радиус окружности, описанной вокруг равнобедренной трапеции с острым углом, вдвое меньшим тупого, если в эту трапецию можно вписать окружность радиуса r
.
Ответ. \frac{2r\sqrt{7}}{3}
.
Решение. Пусть острый угол при большем основании AD
равнобедренной трапеции ABCD
равен \alpha
, а вписанная в трапецию окружность с центром I
(точка пересечения биссектрис углов трапеции) касается боковой стороны AB
в точке K
.
Поскольку
180^{\circ}=\angle BAD+\angle ABC=\alpha+2\alpha=3\alpha,
находим, что \alpha=60^{\circ}
.
Радиус IK
вписанной окружности — высота прямоугольного треугольника AIB
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 313). Из прямоугольных треугольников AKI
и BKI
получаем
AK=IK\ctg30^{\circ}=r\sqrt{3},~BK=IK\tg30^{\circ}=\frac{r\sqrt{3}}{3},
поэтому
CD=AB=AK+BK=r\sqrt{3}+\frac{r\sqrt{3}}{3}=\frac{4r\sqrt{3}}{3}.
Пусть CH
— высота трапеции, R
— радиус окружности, описанной около трапеции. Тогда (см. задачи 1921 и 310)
AH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{AB+CD}{2}=\frac{2AB}{2}=AB=\frac{4r\sqrt{3}}{3},
а так как CH=2r
, то по теореме Пифагора
AC=\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=r\sqrt{\frac{16}{3}+4}=\frac{2r\sqrt{7}}{\sqrt{3}}.
Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{\frac{2r\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}{2\sin60^{\circ}}=\frac{\frac{2r\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2r\sqrt{7}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 23, задача 4, вариант 5