17123. Найдите радиус окружности, описанной вокруг равнобедренной трапеции с острым углом, вдвое меньшим тупого, если в эту трапецию можно вписать окружность радиуса
r
.
Ответ.
\frac{2r\sqrt{7}}{3}
.
Решение. Пусть острый угол при большем основании
AD
равнобедренной трапеции
ABCD
равен
\alpha
, а вписанная в трапецию окружность с центром
I
(точка пересечения биссектрис углов трапеции) касается боковой стороны
AB
в точке
K
.
Поскольку
180^{\circ}=\angle BAD+\angle ABC=\alpha+2\alpha=3\alpha,

находим, что
\alpha=60^{\circ}
.
Радиус
IK
вписанной окружности — высота прямоугольного треугольника
AIB
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 313). Из прямоугольных треугольников
AKI
и
BKI
получаем
AK=IK\ctg30^{\circ}=r\sqrt{3},~BK=IK\tg30^{\circ}=\frac{r\sqrt{3}}{3},

поэтому
CD=AB=AK+BK=r\sqrt{3}+\frac{r\sqrt{3}}{3}=\frac{4r\sqrt{3}}{3}.

Пусть
CH
— высота трапеции,
R
— радиус окружности, описанной около трапеции. Тогда (см. задачи 1921 и 310)
AH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{AB+CD}{2}=\frac{2AB}{2}=AB=\frac{4r\sqrt{3}}{3},

а так как
CH=2r
, то по теореме Пифагора
AC=\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=r\sqrt{\frac{16}{3}+4}=\frac{2r\sqrt{7}}{\sqrt{3}}.

Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{\frac{2r\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}{2\sin60^{\circ}}=\frac{\frac{2r\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2r\sqrt{7}}{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 23, задача 4, вариант 5