17160. Площадь тупоугольного треугольника
ABC
равна
24\sqrt{5}
, его медианы
AN
и
CM
пересекаются под углом
\alpha=\arccos\frac{2}{3}
,
AN-CM=3
. Найдите стороны треугольника
ABC
.
Ответ.
AC=6
,
AB=2\sqrt{105}
,
BC=4\sqrt{21}
.
Решение. Пусть
O
— точка пересечения медиан треугольника
ABC
. Тогда (см. задачу 1207)
CO=\frac{2}{3}CM,~AO=\frac{2}{3}AN~\Rightarrow~3=AN-CM=\frac{3}{2}AO-\frac{3}{2}CO~\Rightarrow~AO-CO=2.

Обозначим
CO=x
. Тогда
AO=x+2
.
По условию задачи один из двух углов,
CON
или
COA
, равен
\arccos\frac{2}{3}
. В любом из этих случаев
\sin\angle CON=\sin\angle COA=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.

Площадь треугольника
AOC
равна трети площади треугольника
ABC
(см. задачу 3013), причём
S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AO\cdot CO\sin\angle COA,~\mbox{или}~8\sqrt{5}=\frac{1}{2}(x+2)\cdot x\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~x^{2}+2x-48=0~\Leftrightarrow~(x-6)(x+8)=0.

Условию задачи удовлетворяет только положительный корень
x=6
. Значит,
CO=x=6,~AO=x+2=8,~ON=\frac{1}{2}AO=4,~OM=\frac{1}{2}CO=3.

Рассмотрим два возможных случая. Пусть в первом из них
CON=\arccos\frac{2}{3}
. Тогда
\cos\angle CON=\cos\angle AOM=\frac{2}{3},~\cos\angle AOC=180^{\circ}-\angle CON,~\cos\angle AOC=-\frac{2}{3}.

По теореме косинусов из треугольников
AOC
,
CON
и
AOM
находим, что
AC=2\sqrt{41},~AB=2AM=2\sqrt{41},BC=2CN=4\sqrt{5}.

Получившийся равнобедренный треугольник остроугольный, так как
AC^{2}+AB^{2}\gt BC^{2}
(см. задачу 4004), и поэтому не удовлетворяет условиям задачи.
Во втором случае предположим, что
\angle AOC=\arccos\frac{2}{3}
. Тогда
\cos\angle AOC=\frac{2}{3},~\cos\angle CON=\cos\angle AOM=-\frac{2}{3}.

Аналогично предыдущему случаю находим, что
AC=6,~AB=2\sqrt{105},~BC=4\sqrt{21}.

Получившийся треугольник тупоугольный, так как
AB^{2}\gt BC^{2}+AC^{2}
. Следовательно, стороны треугольника равны
6
,
2\sqrt{105}
и
4\sqrt{21}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 47, задача 3, вариант 2.1