17160. Площадь тупоугольного треугольника ABC
равна 24\sqrt{5}
, его медианы AN
и CM
пересекаются под углом \alpha=\arccos\frac{2}{3}
, AN-CM=3
. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. AC=6
, AB=2\sqrt{105}
, BC=4\sqrt{21}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 1207)
CO=\frac{2}{3}CM,~AO=\frac{2}{3}AN~\Rightarrow~3=AN-CM=\frac{3}{2}AO-\frac{3}{2}CO~\Rightarrow~AO-CO=2.
Обозначим CO=x
. Тогда AO=x+2
.
По условию задачи один из двух углов, CON
или COA
, равен \arccos\frac{2}{3}
. В любом из этих случаев
\sin\angle CON=\sin\angle COA=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Площадь треугольника AOC
равна трети площади треугольника ABC
(см. задачу 3013), причём
S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AO\cdot CO\sin\angle COA,~\mbox{или}~8\sqrt{5}=\frac{1}{2}(x+2)\cdot x\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~x^{2}+2x-48=0~\Leftrightarrow~(x-6)(x+8)=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=6
. Значит,
CO=x=6,~AO=x+2=8,~ON=\frac{1}{2}AO=4,~OM=\frac{1}{2}CO=3.
Рассмотрим два возможных случая. Пусть в первом из них CON=\arccos\frac{2}{3}
. Тогда
\cos\angle CON=\cos\angle AOM=\frac{2}{3},~\cos\angle AOC=180^{\circ}-\angle CON,~\cos\angle AOC=-\frac{2}{3}.
По теореме косинусов из треугольников AOC
, CON
и AOM
находим, что
AC=2\sqrt{41},~AB=2AM=2\sqrt{41},BC=2CN=4\sqrt{5}.
Получившийся равнобедренный треугольник остроугольный, так как AC^{2}+AB^{2}\gt BC^{2}
(см. задачу 4004), и поэтому не удовлетворяет условиям задачи.
Во втором случае предположим, что \angle AOC=\arccos\frac{2}{3}
. Тогда
\cos\angle AOC=\frac{2}{3},~\cos\angle CON=\cos\angle AOM=-\frac{2}{3}.
Аналогично предыдущему случаю находим, что
AC=6,~AB=2\sqrt{105},~BC=4\sqrt{21}.
Получившийся треугольник тупоугольный, так как AB^{2}\gt BC^{2}+AC^{2}
. Следовательно, стороны треугольника равны 6
, 2\sqrt{105}
и 4\sqrt{21}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 47, задача 3, вариант 2.1