17367. Равнобедренная трапеция ABCD
описана около окружности радиуса 1 с центром в точке O
. Найдите площадь трапеции, если известно, что AO=3
.
Ответ. \frac{9\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r=1
касается оснований AD
и BC
трапеции ABCD
в точках K
и L
соответственно, а боковой стороны AB
— в точке M
.
Из прямоугольного треугольника AKO
находим
AK=\sqrt{OA^{2}-OK^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}~\Rightarrow~AM=AK=2\sqrt{2}.
Обозначим BL=BM=x
. Треугольник AOB
прямоугольный (см. задачу 313), а OM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
1=r^{2}=OM^{2}=AM\cdot BM=2\sqrt{2}x~\Rightarrow~x=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Пусть S
— площадь трапеции, а p
— её полупериметр. Тогда
p=AK+AM+BM+BL=2AM+2BM=4\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.
Следовательно (см. задачу 523),
S=pr=\frac{9\sqrt{2}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 170, задача 3, вариант 2.1