17592. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен 120^{\circ}
. Пусть биссектрисы AD
и CE
углов A
и C
пересекаются в точке I
, а Z
— точка пересечения BI
и DE
. Найдите угол DAZ
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Обозначим AB=c
, AC=b
и BC=a
. Тогда (см. задачи 4021 и 1509)
AD=\frac{AC\cdot AB\cos60^{\circ}}{AC+AB}=\frac{bc}{b+c},~\frac{BE}{EA}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b},
а также
BD=BC\cdot\frac{BD}{AB+AC}=a\cdot\frac{c}{b+c}=\frac{ac}{b+c}.
Тогда
\frac{BD}{AD}=\frac{\frac{ac}{b+c}}{\frac{bc}{b+c}}=\frac{a}{b}=\frac{BE}{EA}.
Значит (см. задачу 1510), DE
— биссектриса угла ADB
, а тогда Z
— точка пересечения биссектрис треугольника ABD
, поэтому AZ
— биссектриса угла BAD
. Следовательно,
\angle DAZ=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{4}\angle BAC=\frac{1}{4}\cdot120^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 1984, задача 2