17601. Дан треугольник ABC
, в котором AB\ne AC
. На отрезках AB
и AC
выбраны точки D
и E
соответственно, причём точки B
, C
, D
, E
лежат на одной окружности. Прямые DE
и BC
пересекаются в точке F
, описанная окружность треугольника ABC
пересекает прямую AF
в точке G
, отличной от A
. На отрезке DE
отмечена произвольная точка H
, а описанная окружность треугольника ABC
и прямая AH
пересекаются в точке I
, отличной от A
. Докажите, что точки F
, G
, H
, I
лежат на одной окружности.
Решение. Заметим, что
FB\cdot FC=FG\cdot AF=FD\cdot FE,
(см. задачу 2636), поэтому AGDE
— вписанный четырёхугольник (см. задачу 114). Значит,
\angle AGE=\angle ADE=\angle ECF,
поэтому EGFC
— вписанный четырёхугольник (см. задачу 12). Кроме того,
\angle AEH=\angle ABC=\angle AIC,
поэтому CEHI
— тоже вписанный четырёхугольник (см. задачу 49). Значит,
AE\cdot AC=AH\cdot AI=AG\cdot AF.
Следовательно (см. задачу 114), точки F
, G
, H
, I
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Японские математические олимпиады. — 2018, задача 3