17616. Из вершины C
прямого угла прямоугольного треугольника ABC
проведена высота CD
. На гипотенузе отмечена точка Z
, причём AZ=AC
. Биссектриса угла BAC
пересекает катет BC
и отрезок CZ
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что четырёхугольник BXYD
вписанный.
Решение. Биссектриса AY
равнобедренного треугольника CAZ
является его высотой, поэтому прямые AX
и CZ
пересекаются под прямым углом. Отрезок CX
— диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника CXY
, а так как CX\perp AC
, то AC
— касательная к этой окружности (см. задачу 1735). Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что \angle CXY=\angle ACZ
.
Поскольку AY
и CZ
— высоты треугольника ABC
, то (см. задачу 141)
\angle YDB=\angle YDZ=\angle ACZ.
Таким образом
\angle BXY=180^{\circ}-\angle CXY=180^{\circ}-\angle ACZ=180^{\circ}-\angle YDB.
Следовательно (см. задачу 49), четырёхугольник BXDY
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2015, второй день, задача 5