17623. Около прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
описана окружность. В точке C
к ней проведена касательная, пересекающая продолжение гипотенузы AB
в точке D
; E
— середина CD
. Точка F
лежит на прямой BE
, причём AF\parallel CD
. Докажите, что AB\perp CF
.
Решение. Пусть прямые BC
и AF
пересекаются в точке H
. Тогда F
— середина отрезка AH
(см. задачу 2607).
Медиана CF
прямоугольного треугольника ACH
равна половине его гипотенузы AH
(см. задачу 109), поэтому
\angle BCF=\angle BHF=\angle BCD=\angle BAC
(последнее равенство следует из теоремы об угле между касательной и хордой, см. задачу 53).
Пусть G
— точка пересечения прямых CF
и AB
. Тогда
\angle BGC=180^{\circ}-\angle BCF-\angle ABC=180^{\circ}-\angle BCF-(90^{\circ}-\angle BCF)=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2020, первый день, задача 3