17644. Вписанная окружность прямоугольного треугольника с площадью S
является описанной для прямоугольного треугольника с площадью S'
. Докажите, что
\frac{S}{S'}\geqslant3+2\sqrt{2}.
Решение. Пусть катеты прямоугольного треугольника с площадью S
равны a
и b
, гипотенуза равна c
, а радиус вписанной окружности равен r
. Тогда гипотенуза прямоугольного треугольника с площадью S'
равна 2r
. Пусть его высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h
. Тогда h\leqslant r
(см. задачи 1109 и 4269), поэтому
h\leqslant r~\Rightarrow~S'=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot h=rh\leqslant r^{2}~\Rightarrow~\frac{1}{S'}\geqslant\frac{1}{r^{2}}.
Поскольку площадь треугольника равна половине его периметра, умноженной на радиус вписанной окружности (см. задачу 452), а среднее арифметическое двух положительных чисел на меньше их среднего геометрического, получаем
2S=ab=(a+b+c)r=(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})r=2\left(\frac{a+b}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)r=
=2\left(\frac{a+b}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\right)r\geqslant2\left(\sqrt{ab}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{ab}\right)r=\sqrt{ab}(2+\sqrt{2})r.
Разделив обе части неравенства
ab\geqslant\sqrt{ab}(2+\sqrt{2})r
на \sqrt{ab}
получим
\sqrt{ab}\geqslant(2+\sqrt{2})r~\Rightarrow~ab\geqslant(6+4\sqrt{2})r^{2}=2(3+\sqrt{2})r^{2}~\Rightarrow~S=\frac{1}{2}ab\geqslant(3+\sqrt{2})r^{2}.
Следовательно,
\frac{S}{S'}=S\cdot\frac{1}{S'}\geqslant(3+2\sqrt{2})r^{2}\cdot\frac{1}{r^{2}}=3+2\sqrt{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 1998-1999, задача 3