17686. Окружность \Omega
проходит через вершины A
и B
равнобедренного треугольника ABC
и касается прямой AC
. Докажите, что окружность \Omega
проходит либо через центр описанной окружности, либо через центр вписанной окружности, либо через ортоцентр треугольника ABC
.
Решение. Рассмотрим три случая: AB=BC
, BC=BA
, CA=CB
.
1. Пусть AB=AC
(рис. 1). Докажем, что окружность \Omega
проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
.
Пусть O
— точка на окружности \Omega
, лежащая по ту же сторону от прямой AB
, что и точка C
, и равноудалённая от концов отрезка AB
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle CAO=\angle ABO=\angle BAO,
поэтому AO
— биссектриса равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
. Значит, прямая AO
— серединный перпендикуляр к стороне BC
треугольника ABC
, а так как точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
, то (см. задачу 1142) O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
2. Пусть BC=BA
(рис. 2). Докажем, что окружность \Omega
проходит через ортоцентр треугольника ABC
.
Пусть BE
— высота треугольника ABC
, а H
— отличная от B
точка пересечения этой высоты с окружностью \Omega
(если эта окружность касается прямой BE
, то в качестве точки H
возьмём B
). Тогда из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle EBA=\angle CBA=\angle CBH=\angle ACH.
Тогда
\angle ACB+\angle CAH=\angle CAB+\angle EBA=90^{\circ},
поэтому AH\perp BC
. Значит (см. задачу 1256), H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
3. Пусть CA=CB
(рис. 3). Докажем, что окружность \Omega
проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Пусть I
— точка пересечения биссектрисы угла ACB
с окружность \Omega
, лежащая по ту же сторону от прямой AB
, что и точка C
. Тогда \angle CAI=\angle IBA
, а так как CA=CB
, то прямая CI
— серединный перпендикуляр к стороне AB
. Значит, треугольник AIB
равнобедренный с основанием AB
, поэтому
\angle CAI=\angle IBA=\angle BAI.
Значит, AI
— биссектриса угла BAC
треугольника ABC
. Следовательно (см. задачу 1140), I
— точка пересечения биссектрис этого треугольника. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2009, задача 9, 10-12 классы