17786. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
и проведены высоты AD
, BE
и CF
. Прямая EF
пересекает окружность в точках P
и Q
.
а) Докажите, что OA\perp PQ
.
б) Пусть M
— середина стороны BC
. Докажите, что AP^{2}=2AD\cdot OM
.
Решение. а) По теореме Нагеля (см. задачу 480) OA\perp EF
. Следовательно, OA\perp PQ
.
б) Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, T
— точка пересечения радиуса OA
с прямой PQ
, R
— радиус описанной окружности треугольника, а M
— середина стороны BC
. По теореме синусов AC=2R\sin\beta
, то
AF=AC\cos\alpha=2R\cos\alpha\sin\beta,
а так как \angle AFE=\angle ACB=\gamma
(см. задачу 41), то
AT=AF\sin\angle AFE=AF\sin\angle ACB=2R\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma
Пусть AA'
— диаметр описанной окружности данного треугольника. Заметим, что PT
— высота прямоугольного треугольника APC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
AP^{2}=AA'\cdot AT=2R\cdot2R\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma=4R^{2}\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Из прямоугольных треугольников ADC
и BMO
получаем
AD=AC\sin\gamma=2R\sin\beta\sin\gamma,~OM=OC\cos\angle COM=R\cos\alpha.
Следовательно,
2AD\cdot OM=2\cdot2R\sin\beta\sin\gamma\cdot R\cos\alpha=4R^{2}\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma=AP^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 1999, задача B2