17787. Окружности \omega
и \omega'
с центрами O
и O'
пересекаются в точках M
и N
. Общая касательная окружностей, расположенная ближе к M
, чем к N
, касается окружностей \omega
и \omega'
в точках A
и B
соответственно. Прямая, проходящая через точку B
перпендикулярно AM
, пересекает линию центров OO'
в точке D
. Продолжение радиуса O'B
окружности \omega'
пересекает \omega'
в точке B'
. Докажите, что точки M
, D
и B'
лежат на одной прямой.
Решение. Выберем прямоугольную систему координат, в которой абсциссы точек A
и B
равны -m
и n
(m
и n
— положительны), а ординаты равны 0. Пусть прямая, проходящая через точку M
перпендикулярно AB
, пересекает AB
в точке Q
, а MQ=1
. Тогда луч QB
— положительная полуось абсцисс, а луч QM
— положительная полуось ординат.
Найдём ординаты центров данных окружностей. Пусть O'B=R
— радиус окружности \omega'
, K
— проекция точки M(0;1)
на диаметр BB'
. Тогда точка K
имеет координаты K(n;1)
. Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику MLO'
, получим
R^{2}=MK^{2}+O'K^{2}~\mbox{или}~R^{2}=n^{2}+(R-1)^{2},
откуда R=\frac{n^{2}+1}{2}
. Аналогично, если r
— радиус окружности \omega
, то r=\frac{m^{2}+1}{2}
. Таким образом, получены координаты точек: O\left(-m;\frac{m^{2}+1}{2}\right)
и O'\left(n;\frac{n^{2}+1}{2}\right)
.
Угловой коэффициент прямой AM
равен \frac{QM}{QA}=\frac{1}{m}
, поэтому угловой коэффициент проходящей через точку B
перпендикулярной ей прямой, равен -m
(см. задачу 4243), а её уравнение имеет вид y=-m(x-n)
(см. задачу 4205). Аналогично получим, что уравнение прямой OO'
имеет вид y=x(n-m)+mn+1
(см. задачу 4206). Решив систему
\syst{y=-m(x-n)\\y=x(n-m)+mn+1,}
получим координаты точки D
пересечения этих прямых: D\left(\frac{mn-1}{m+n};\frac{m(n^{2}+1)}{m+n}\right)
, а так как координаты точки B'
равны (n;n^{2}+1)
, то угловые коэффициенты прямых MB'
и MD
равны соответственно
\frac{n^{2}+1-1}{n}=n,~\mbox{и}~\frac{\frac{m(n^{2}+1)}{m+n}-1}{\frac{mn-1}{m+n}-0}=n.
Из равенства угловых коэффициентов прямых MB'
и MD
следует, что точки M
, D
и B'
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 2000, задача A2