17893. Какова наименьшая возможная площадь прямоугольного треугольника, если радиус его вписанной окружности равен 1?
Решение. Пусть катеты треугольника равны a
, b
, а гипотенуза равна c
; r=1
— радиус вписанной окружности треугольника, p
— полупериметр, S
— площадь.
Заметим, что 1=r=\frac{a+b-c}{2}
(см. задачу 217). Тогда (см. задачу 452)
S=\frac{ab}{2}=pr,~\mbox{или}~\frac{ab}{2}=\frac{a+b+c}{2}=a+b-\frac{a+b-c}{2}=(a+b)-1.
Применив неравенство Коши (см. задачу 3399), получим
S=\frac{ab}{2}=(a+b)-1\geqslant2\sqrt{ab}-1,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b
, т. е. тогда и только тогда, когда прямоугольный треугольник — равнобедренный. В этом случае
1=r=\frac{1}{2}(a+a-\sqrt{2})~\Rightarrow~a=2+\sqrt{2}~\Rightarrow~S_{\min}=\frac{a^{2}}{2}=3+2\sqrt{2}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 4