17933. Пусть \omega_{1}
и \omega_{2}
— окружности, касающиеся внешним образом в точке C
. На окружности \omega_{1}
лежит точка A
, а на окружности \omega_{1}
— точка B
, причём C
— внутренняя точка отрезка AB
. Пусть окружность \omega_{3}
проходит через точки A
, B
и пересекает окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
ещё раз в точках M
и N
соответственно, а \omega_{4}
— описанная окружность треугольника CMN
. Докажите, что центры окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
, \omega_{3}
и \omega_{4}
лежат на одной и той же окружности.
Указание. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130).
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130), поэтому O_{1}O_{3}\perp AM
и O_{2}O_{3}\perp BN
. Тогда O_{1}O_{3}\perp AM
и O_{2}O_{4}\perp CN
. Значит,
\angle O_{3}O_{1}O_{4}=\angle AMC,~\angle O_{3}O_{2}O_{4}=\angle BNC
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— центры окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
, \omega_{3}
, \omega_{4}
соответственно, а X
— точка на общей внутренней касательной окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
, лежащая с точкой M
по разные стороны от прямой AB
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 87)
\angle AMC=\angle ACX=180^{\circ}-\angle ACX=180^{\circ}-\angle BNC,
поэтому
\angle O_{3}O_{1}O_{4}=\angle AMC=180^{\circ}-\angle BNC=180^{\circ}-\angle O_{3}O_{2}O_{4}.
Значит, четырёхугольник O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Рассмотрения случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2019, региональный этап, задача 2, с. 19 и 78