17935. Различные точки A
и B
лежат на окружности \Omega
, а касательные к этой окружности, проведённые в точках A
и B
пересекаются в точке C
. Точка X
симметрична A
относительно точки B
; описанная окружность \Gamma
треугольника BXC
пересекает окружность \Omega
в точке D
, отличной от B
, а прямую CD
— в точке E
, отличной от D
. Докажите, что прямая EX
— касательная к окружности \Gamma
.
Указание. Докажите, что AE\parallel CX
и достройте треугольник CAX
до параллелограмма ACXY
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Четырёхугольник BDCX
вписан в окружность \Gamma
, поэтому
\angle CXB=180^{\circ}-\angle CDB=\angle BDE=\angle BAE.
Значит, AE\parallel CX
.
Достроим треугольник CAX
до параллелограмма ACXY
. Тогда по свойству вписанного четырёхугольника и по теореме об угле между касательной и хордой (см. задачи 6 и 87)
\angle BEY=180^{\circ}-\angle BEA=180^{\circ}-BAC=180^{\circ}-\angle BXY.
Значит, четырёхугольник BEYX
вписанный. Значит,
\angle BXE=\angle BYE=\angle BCX.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144) EX
— касательная к окружности \Gamma
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Рассмотрения случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).
Источник: Математические олимпиады США. — 2015, задача 3