17943. Точки A
, B
, C
в указанном порядке лежат на одной прямой; \Gamma
— произвольная окружность, проходящая через точки B
и C
; l
произвольная, отличная от BC
, прямая, проходящая через точку A
и пересекающая окружность \Gamma
в точках M
и N
. Биссектрисы углов CMB
и CNB
пересекают прямую BC
в точках P
и Q
. Докажите,что AP\cdot AQ=AB\cdot AC
.
Указание. Докажите, что четырёхугольник MPQN
вписанный.
Решение. Пусть D
— середина не содержащей точек M
и N
дуги BC
окружности \Gamma
(см. рис.). Меньшие дуги CD
и AD
этой окружности равны, поэтому ND
и MD
— биссектрисы вписанных в окружность \Gamma
углов CNB
и CMB
соответственно (см. задачу 430). Тогда (см. задачу 26)
\angle NQC=\frac{1}{2}(\smile NC+\smile DM)=\frac{1}{2}(\smile NC+\smile CD)=\frac{1}{2}\smile ND=\angle NMP,
поэтому
\angle NQP=180^{\circ}-\angle NQC=180^{\circ}-\angle NMP.
Значит, четырёхугольник MPQN
вписанный, а так как четырёхугольник MBCN
тоже вписанный, то (см. задачу 2636)
AP\cdot AQ=AM\cdot AN=AB\cdot AC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 1, с. 76