17949. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно пересекаются в точках A
и B
. Точки X
и Y
лежат на окружности \omega_{1}
. Прямые XA
и YA
пересекают окружность \omega_{2}
в точках Z
и W
соответственно, причём точка A
лежит между X
, Z
и между Y
и W
. Точки M
, S
и T
— середины отрезков O_{1}O_{2}
, XA
и WA
. Докажите, что MS=MT
тогда и только тогда, когда точки X
, Y
, Z
и W
лежат на одной окружности.
Указание. См. задачи 4014 и 2627.
Решение. Отрезок SM
— медиана треугольника O_{1}SO_{2}
, поэтому (см. задачу 4014)
4SM^{2}=2SO_{1}^{2}+2SO_{2}^{2}-O_{1}O_{2}.
Поскольку S
— середина AX
равнобедренного треугольника AO_{1}X
, то O_{1}S\perp AX
, поэтому
O_{1}S^{2}=O_{1}A^{2}-AS^{2}.
В то же время (см. задачу 2636),
SO_{2}^{2}=SA\cdot SZ+O_{2}A^{2}+O_{2}A^{2}=SA(SA+AZ)+O_{2}A^{2}=SA^{2}+SA\cdot AZ+O_{2}A^{2}.
Значит,
4SM^{2}=2(O_{1}A^{2}-AS^{2})+2(SA^{2}+SA\cdot AZ+O_{2}A^{2})-O_{1}O_{2}^{2}=
=2O_{1}A^{2}+2O_{2}A^{2}+SA\cdot AZ-O_{1}O_{2}^{2}.
Аналогично,
4MT^{2}=2O_{2}A^{2}+2O_{1}A^{2}+WA\cdot AY-O_{1}O_{2}^{2}.
Тогда
4(SM^{2}-MT^{2})=4SM^{2}-4MT^{2}=XA\cdot AZ-WA\cdot AY.
Следовательно, MS=MT
тогда и только тогда, когда
XA\cdot AZ=WA\cdot AY,
т. е. тогда и только тогда, когда точки X
, Y
, Z
и W
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 4, с. 107