17953. В неравнобедренном треугольнике ABC
проведены высоты BD
и CE
. Точки M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно, а P
— точка пересечения прямых MN
и DE
. Докажите, что прямые AP
и OH
перпендикулярны.
Указание. Примените теорему о радикальном центре трёх окружностей (см. задачу 6393).
Решение. Поскольку \angle ADH=\angle HEA=90^{\circ}
, четырёхугольник AEHD
вписанный, а AH
— диаметр его описанной окружности \omega_{H}
. Поскольку \angle ANO=\angle AMO=90^{\circ}
, четырёхугольник AMON
вписанный, а AO
— диаметр его описанной окружности \omega_{O}
.
Пусть \omega_{G}
— окружность девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174). Тогда четырёхугольник DEMN
— вписан в эту окружность.
Окружности \omega_{H}
и \omega_{G}
пересекаются в точках D
и E
, поэтому прямая DE
— радикальная ось этих окружностей (см. задачу 6392). Окружности \omega_{O}
и \omega_{G}
пересекаются в точках M
и N
, поэтому прямая MN
— радикальная ось этих окружностей. Значит, точка P
пересечения прямых DE
и MN
— радикальный центр окружностей \omega_{H}
, \omega_{O}
и \omega_{G}
. Тогда AP
— радикальная ось окружностей \omega_{H}
и \omega_{G}
(см. задачу 6393). Значит, прямая AP
перпендикулярна линии центров H'O'
этих окружностей (H'
и O'
— центры окружностей \omega_{H}
и \omega_{O}
соответственно), а так как H'
и O'
— середины отрезков AH
и AO
соответственно, то O'H'\parallel OH
как средняя линия треугольника AOH
. Следовательно, OH\perp AP
.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2015, задача 3, с. 61