18019. Через точку P
, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три меньших треугольника и три параллелограмма. Пусть k
— отношение суммы площадей трёх меньших треугольников к площади исходного треугольника. Докажите, что k\geqslant\frac{1}{3}
. Для какой точки P
k=\frac{1}{3}?
Ответ. Для точки пересечения медиан исходного треугольника.
Указание. См. задачи 3028, 3399, 2607.
Решение. Пусть ABC
— исходный треугольник, а прямые, проходящие через точку P
, пересекают стороны треугольника в точках D
и E
, F
и G
, H
и I
(см. рис.). Треугольники ABC
, DEP
, PFG
и HPI
подобны по двум углам, причём BD=IP
и EC=PF
.
Обозначим BC=a
, IP=a_{1}
, DE=a_{2}
и PF=a_{3}
. Тогда
a_{1}+a_{2}+a_{3}=a.
Заметим, что существует положительное k
, для которого площади треугольников ABC
, HPI
, DEP
, PFG
и равны ta^{2}
, ta_{1}^{2}
, ta_{2}^{2}
, ta_{3}^{2}
соответственно (см. задачу 3008). Тогда
k=\frac{ta_{1}^{2}+ta_{2}^{2}+ta_{3}^{2}}{ta^{2}}=\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}},
а так как среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел не меньше их среднего квадратичного (см. примечание к задаче 3399), то
\frac{(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}}{9}\leqslant\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{3},
т. е. k\geqslant\frac{1}{3}
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a_{1}=a_{2}=a_{3}
. В этом случае P
— середина каждого из отрезков IF
, DG
и EH
, а значит, точка P
лежит на каждой медиане треугольника ABC
(см. задачу 2607), т. е. совпадает с точкой их пересечения.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2009, задача 1, с. 63