18059. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=15
, BC=20
и высотой CD
. Вписанная окружность \omega
треугольника ACD
касается прямой CD
в точке T
. Окружность \Omega
касается прямой CD
тоже в точке T
, а также касается катета BC
и пересекает гипотенузу AB
в точках X
и Y
. Найдите XY
.
Ответ. 3\sqrt{5}
.
Решение. Пусть r
и \rho
— радиусы вписанных окружностей \omega
и \gamma
треугольников ACD
и BCD
соответственно, а радиус окружности \Omega
с центром O
равен R
.
Поскольку
AD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{AC^{2}}{\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}}=\frac{15^{2}}{\sqrt{15^{2}+20^{2}}}=9
(см. задачу 2728),
BD=AB-AD=25-9=16~\mbox{и}~CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{15\cdot20}{25}=12
(см. задачу 1967), то (см. задачу 217)
r=\frac{AD+CD-AC}{2}=\frac{9+12-15}{2}=3,
\rho=r=\frac{BD+CD-BC}{2}=\frac{16+12-20}{2}=4.
Пусть окружность \gamma
касается CD
в точке S
. Тогда TD=r=3
и SD=R=4
. Гомотетия с центром C
и коэффициентом
\frac{CT}{CS}=\frac{CD-TD}{CS}=\frac{12-3}{12-4}=\frac{9}{8},
переводит окружность \gamma
в окружность \Omega
, поэтому
R=\frac{9}{8}\rho=\frac{9}{8}\cdot4=\frac{9}{2}.
Пусть M
— середина хорды XY
окружности \Omega
. Тогда OM\perp XY
(см. задачу 1677), а так как OM=TD=r=3
, то
XY=2XM=2\sqrt{OX^{2}-OM^{2}}=2\sqrt{R^{2}-r^{2}}=2\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-9^{2}}=6\sqrt{\frac{9}{4}-1}=3\sqrt{5}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2019, задача 46, с. 14