18264. Точки N
и M
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём AN=\frac{1}{3}AB
и MA=MC
. Отрезки CN
и BM
пересекаются в точке P
. Найдите отношение площади треугольника ABC
к площади четырёхугольника ANPM
.
Ответ. \frac{30}{7}
.
Решение. Обозначим AN=t
, AB=z
и S_{\triangle ABC}=S
. Тогда BN=3t
, S_{\triangle ABC}=S
и S_{\triangle ACN}=\frac{1}{3}S
(см. задачу 3000).
Пусть прямая, проведённая через вершину C
параллельно AB
, пересекает прямую BM
в точке D
. Из равенства треугольников CMD
и AMB
получаем CD=BA=3t
, а из подобия треугольников CPD
и NPB
—
\frac{CP}{PN}=\frac{CD}{NB}=\frac{3t}{2t}=\frac{3}{2}~\Rightarrow~\frac{CP}{CN}=\frac{3}{5}.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle MCP}=\frac{CP}{CN}\cdot\frac{CM}{CA}S_{\triangle ACN}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{10}S.
Значит,
S_{ANPM}=\frac{1}{3}S-\frac{1}{10}S=\frac{7}{30}S.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{ANPM}}=\frac{\frac{1}{10}S}{\frac{7}{30}S}=\frac{30}{7}.
Примечание. Отношение \frac{CP}{PN}
можно найти с помощью теоремы Менелая (см. задачу 1622).
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада (MMC). — 2013, задача WE10, с. 6