18299. В треугольника ABC
известно, что BC=5
и AC-AB=3
. Докажите, что r\lt2\lt r_{a}
, где r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а r_{a}
— радиус его вневписанной окружности, касающейся стороны BC
.
Решение. 1. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
, K
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
. Применив равенства из задачи 219 и численные данные BC=5
и AC-AB=3
, получим
BK=p-b=\frac{1}{2}(a+c-b)=\frac{1}{2}(a-(b-c))=\frac{1}{2}(5-3)=1,
CK=p-c=\frac{1}{2}(a+b-c)=\frac{1}{2}(a+(b-c))=\frac{1}{2}(5+3)=4
Поскольку
\angle CIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\gt90^{\circ}
(см. задачу 4770), точка I
лежит внутри окружности с диаметром BC
. Пусть P
— точка пересечения луча KI
с этой окружностью. Тогда r=IK\lt PK
, а так как PK
— высота прямоугольного APC
, проведённая из вершины прямого угла, то
PK=\sqrt{BK\cdot CK}=\sqrt{1\cdot4}=2
(см. задачу 2728). Следовательно, r\lt PK=2
.
2. Неравенство r_{a}\gt2
доказывается аналогично. Действительно, если T
— точка касания вневписанной окружности со стороной BC
, то (см. задачи 1750 и 4770)
CT=p-AC=p-b,~BT=p-AB=p-c,~\angle CI_{a}B=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC\lt90^{\circ},
точка I_{a}
расположена вне окружности с диаметром BC
. Следовательно,
r_{a}=I_{a}T\gt\sqrt{CT\cdot TB}=\sqrt{(p-b)(p-c)}=\sqrt{1\cdot4}=2.
Автор: Мороз Н.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2019, III, задача 5, 8-9 классы, с. 4