18326. В остроугольном треугольнике ABC
точка I
— центр вписанной окружности, H
— ортоцентр, O
— центр описанной окружности, K
и T
— точки касания соответственно вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC
со стороной BC
. Известно, что отрезок TI
проходит через точку O
. Докажите, что HK
— биссектриса угла BHC
.
Решение. Пусть M
— середина стороны BC
. Тогда M
— также середина отрезка KT
(см. задачу 4805б), а так как точка O
лежит на отрезке TI
, то OM\parallel IK
. Значит, OM
— средняя линия треугольника KIT
. Тогда IK=2OM=AH
(см. задачу 1257). Кроме того, поскольку IK\parallel AH
, то AI\parallel HK
, а AHKI
— параллелограмм.
Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
и AA_{1}
— высоты треугольника ABC
, а P
— точка пересечения BB_{1}
и AI
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\angle ABH=90^{\circ}-\alpha,~\angle BAI=\angle CAI=\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника APB_{1}
, параллельности AP
и HK
и вписанности четырёхугольника AB_{1}HC_{1}
(см. задачу 1689) находим, что
\angle KHB=\angle APB_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}\angle B_{1}HC_{1}=\frac{1}{2}\angle BHC
Следовательно, HK
— биссектриса угла BHC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2022, VI, задача 5, 8-9 классы, с. 5