18328. В треугольнике ABC
выполняется равенство AB+AC=2BC
. Пусть I
и M
— соответственно центр вписанной окружности и точка пересечения медиан треугольника ABC
, AL
— биссектриса треугольника, а P
— ортоцентр треугольника BIC
. Докажите, что точки L
, M
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, AH=h_{a}
— высота треугольника ABC
, r
— радиус вписанной окружности, p
— полупериметр, W
— точка пересечения продолжения биссектрисы AL
треугольника ABC
с его описанной окружностью, N
— середина стороны BC
, K
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
. Тогда IK=r
и h_{a}=3r
(см. задачу 6100а)
Для определённости будем считать, что b\gt c
(при b=c
утверждение задачи очевидно). Тогда b-a=a-c\gt0
. Кроме того
BN=\frac{a}{2}~\mbox{и}~BK=p-b=\frac{a+c-b}{2}
(см. задачу 219), а по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}
, то
BL=BC\cdot\frac{BL}{BC}=a\cdot\frac{c}{b+c}=\frac{ac}{b+c}=\frac{ac}{2a}=\frac{c}{2}.
Значит,
LK=BL-BK=\frac{c}{2}-\frac{a+c-b}{2}=\frac{b-a}{2}.
Аналогично, NL=\frac{a-c}{2}
, а так как b-a=a-c
, то NL=LK
, т. е. L
— середина отрезка KN
. Тогда прямоугольные треугольники треугольники WNL
и IKL
равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому WN=IK=r
.
По теореме о трилистнике (см. задачу 788) WB=WI=WC
поэтому точка W
— центр описанной окружности треугольника BIC
, а так как P
— ортоцентр этого треугольника, то IP=2WN=2r
(см. задачу 1257). В то же время, h_{a}=3r
, поэтому
PK=IK+IP=r+2r=3r=h_{a}.
Значит, AP\parallel BC
, а APKH
— прямоугольник.
Прямоугольные треугольники IKL
и AHL
подобны с коэффициентом \frac{LK}{LH}=\frac{IK}{AH}=\frac{1}{3}
. Тогда
AP=KH=2KL=2NL.
Наконец, треугольники PAM
и LNM
подобны, так как
\angle PAM=\angle LNM~\mbox{и}~\frac{AP}{NL}=\frac{AM}{NM}=2.
Значит, \angle PMA=\angle LMN
. Следовательно, точки L
, M
и P
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2022, VI, задача 4, 10-11 классы, с. 11