2438. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу и радиусам вписанной и описанной окружностей.
Указание. По углу и радиусу описанной окружности постройте противоположную сторону треугольника.
Решение. По данному углу \alpha
при вершине A
искомого треугольника ABC
и данному радиусу R
описанной окружности построим противоположную сторону BC
искомого треугольника.
Для этого построим прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 2R
, и острому углу \alpha
. Тогда катет, противолежащий углу \alpha
, равен стороне BC
искомого треугольника ABC
.
Затем (см. задачу 2889) построим на найденной стороне BC
как на хорде дугу, вмещающую угол 90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(если O
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, то \angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC
, см. задачу 1101 или 4770). Каждая точка пересечения этой дуги с прямой, параллельной прямой BC
, и отстоящей от неё на расстояние, равное данному радиусу вписанной окружности, есть центр вписанной окружности искомого треугольника.
Проведём эту окружность и построим к ней касательные из точек B
и C
(см. задачу 1738). Пересечение этих касательных есть вершина A
искомого треугольника ABC
.