3181. Прямая
l
— касательная к окружности, описанной около остроугольного треугольника
ABC
, проведённая в точке
B
. Точка
K
— проекция ортоцентра треугольника на прямую
l
,
L
— середина стороны
AC
. Докажите, что треугольник
BKL
равнобедренный.
Указание. Пусть
H
— ортоцентр треугольника
ABC
,
BD
— диаметр окружности. Тогда четырёхугольник
AHCD
— параллелограмм.
Решение. Первый способ. Пусть
H
— ортоцентр треугольника
ABC
,
O
— центр описанной окружности,
L'
— проекция точки
L
на прямую
l
. Тогда отрезки
BK
и
BL'
— проекции отрезков
BH
и
OL
на прямую
l
.
Рассмотрим случай, когда точки
A
и
K
расположены по одну сторону от прямой
BC
.
Известно, что
BH\parallel OL
и
BH=2OL
(см. задачу 1257). Поэтому
BK=2BL'
, а так как точка
L'
лежит на луче
BK
, то
L'
— середина отрезка
BK
. Значит,
LL'
— серединный перпендикуляр к отрезку
BK
. Следовательно, треугольник
BKL
— равнобедренный.
Второй способ. Рассмотрим случай, когда точки
A
и
K
расположены по одну сторону от прямой
BC
.
Пусть
H
— ортоцентр треугольника
ABC
;
CC_{1}
и
AA_{1}
— высоты треугольника. Поскольку
\angle BKH=\angle BC_{1}H=\angle BA_{1}H=90^{\circ},

точки
K
,
C_{1}
и
A_{1}
лежат на окружности с диаметром
BH
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABK=\angle BCA
. Кроме того, так как
AA_{1}
и
CC_{1}
— высоты треугольника
ABC
, то
\angle BC_{1}A_{1}=\angle BCA
. Значит,
\angle C_{1}BK=\angle ABK=\angle BC_{1}A_{1}.

Значит,
BK\parallel C_{1}A_{1}
, т. е. вписанный четырёхугольник
BKC_{1}A_{1}
— равнобедренная трапеция,
KC_{1}=BA_{1}
.
Поскольку
LA_{1}
и
LC_{1}
— медианы прямоугольных треугольников
AA_{1}C
и
AC_{1}C
, проведённые из вершин прямых углов,
LA_{1}=\frac{1}{2}AC=LC_{1}

(см. задачу 1109). Кроме того,
\angle BA_{1}L=\angle BA_{1}C_{1}+\angle LA_{1}C_{1}=\angle KC_{1}A_{1}+\angle LC_{1}A_{1}=\angle KC_{1}L.

Поэтому треугольники
BA_{1}L
и
KC_{1}L
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
BL=KL
. Что и требовалось доказать.
Третий способ. Известно, что образ
H'
ортоцентра
H
при симметрии относительно середины
L
стороны
AC
треугольника
ABC
лежит на описанной окружности (см. задачу 4785), причём точка
H'
— точка, диаметрально противоположная вершине
B
. Поэтому,
B
— проекция точки
H'
на прямую
l
. Тогда проекция
L'
на прямую
l
середины
L
отрезка
HH'
есть середина проекции
BK
этого отрезка. Значит,
LL'
— серединный перпендикуляр к отрезку
BK
. Следовательно, треугольник
BKL
— равнобедренный.