3181. Прямая l
— касательная к окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
, проведённая в точке B
. Точка K
— проекция ортоцентра треугольника на прямую l
, L
— середина стороны AC
. Докажите, что треугольник BKL
равнобедренный.
Указание. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, BD
— диаметр окружности. Тогда четырёхугольник AHCD
— параллелограмм.
Решение. Первый способ. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, O
— центр описанной окружности, L'
— проекция точки L
на прямую l
. Тогда отрезки BK
и BL'
— проекции отрезков BH
и OL
на прямую l
.
Рассмотрим случай, когда точки A
и K
расположены по одну сторону от прямой BC
.
Известно, что BH\parallel OL
и BH=2OL
(см. задачу 1257). Поэтому BK=2BL'
, а так как точка L'
лежит на луче BK
, то L'
— середина отрезка BK
. Значит, LL'
— серединный перпендикуляр к отрезку BK
. Следовательно, треугольник BKL
— равнобедренный.
Второй способ. Рассмотрим случай, когда точки A
и K
расположены по одну сторону от прямой BC
.
Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
; CC_{1}
и AA_{1}
— высоты треугольника. Поскольку
\angle BKH=\angle BC_{1}H=\angle BA_{1}H=90^{\circ},
точки K
, C_{1}
и A_{1}
лежат на окружности с диаметром BH
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle ABK=\angle BCA
. Кроме того, так как AA_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, то \angle BC_{1}A_{1}=\angle BCA
. Значит,
\angle C_{1}BK=\angle ABK=\angle BC_{1}A_{1}.
Значит, BK\parallel C_{1}A_{1}
, т. е. вписанный четырёхугольник BKC_{1}A_{1}
— равнобедренная трапеция, KC_{1}=BA_{1}
.
Поскольку LA_{1}
и LC_{1}
— медианы прямоугольных треугольников AA_{1}C
и AC_{1}C
, проведённые из вершин прямых углов,
LA_{1}=\frac{1}{2}AC=LC_{1}
(см. задачу 1109). Кроме того,
\angle BA_{1}L=\angle BA_{1}C_{1}+\angle LA_{1}C_{1}=\angle KC_{1}A_{1}+\angle LC_{1}A_{1}=\angle KC_{1}L.
Поэтому треугольники BA_{1}L
и KC_{1}L
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BL=KL
. Что и требовалось доказать.
Третий способ. Известно, что образ H'
ортоцентра H
при симметрии относительно середины L
стороны AC
треугольника ABC
лежит на описанной окружности (см. задачу 4785), причём точка H'
— точка, диаметрально противоположная вершине B
. Поэтому, B
— проекция точки H'
на прямую l
. Тогда проекция L'
на прямую l
середины L
отрезка HH'
есть середина проекции BK
этого отрезка. Значит, LL'
— серединный перпендикуляр к отрезку BK
. Следовательно, треугольник BKL
— равнобедренный.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Журнал «Квант». — 2012, № 5-6, с. 59
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2000 г., отборочный тур, 11 класс