3255. Докажите, что если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, то:
\mbox{а)}~\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma\geqslant\frac{3}{4};
\mbox{б) для тупоугольного треугольника}~\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma\gt1.
Указание. Докажите равенство
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma
и неравенство \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\frac{1}{8}
.
Решение. а)
Первый способ. Из равенства
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1
(см. задачу 3254) следует, что
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,
а так как \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\frac{1}{8}
(см. задачу 3253), то
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\geqslant1-2\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{4}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Применив формулу \cos2x=2\cos^{2}x-1
, получим, что неравенство
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma\geqslant\frac{3}{4}
равносильно неравенству
\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma\geqslant-\frac{3}{2}
(см. задачу 4158).
б) Для тупоугольного треугольника \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\lt0
, следовательно,
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\gt1.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 10.42, с. 263
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 10.44, с. 255