3796. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания высот треугольника ABC
. Через вершины треугольника A
, B
и C
проведены касательные к описанной окружности треугольника ABC
, пересекающиеся в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
(A_{2}
— точка пересечения касательных, проведённых в точках B
и C
, B_{2}
— точка пересечения касательных, проведённых в точках A
и C
). Докажите, что площадь треугольника ABC
— среднее геометрическое площадей треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
.
Решение. Пусть
S_{\triangle ABC}=S,~S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{1},~S_{\triangle A_{2}B_{2}C_{2}}=S_{2},
полупериметры эти треугольников равны p
, p_{1}
и p_{2}
соответственно, а радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
.
Стороны треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
(ортотреугольника треугольника ABC
) соответственно параллельны сторонам треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
(см. задачу 700), поэтому треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
подобны, причём коэффициент подобия k
равен отношению их полупериметров, т. е. k=\frac{p_{1}}{p_{2}}
. Значит,
\frac{S_{1}}{S_{2}}=k^{2}=\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)^{2}.
Известно, что S=p_{1}R
(см. примечание к задаче 4305), а так как радиус вписанной окружности треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
равен R
, то S_{2}=p_{2}R
(см. задачу 452), поэтому \frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{S}{S_{2}}
. Следовательно,
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{S}{S_{2}}\right)^{2}=\frac{S^{2}}{S_{2}^{2}},
откуда
S^{2}=\frac{S_{1}\cdot S_{2}^{2}}{S_{2}}=S_{1}S_{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
называется тангенциальным треугольником треугольника ABC
. Таким образом, доказано, что площадь треугольника равна среднему геометрическому площадей его ортотреугольника и тангенциального треугольника.